如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的公共點(diǎn)分別為A(5、0)、B,點(diǎn)C在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,且橫坐標(biāo)為3.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)如果點(diǎn)D在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,且∠DAC=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出b的值,繼而得出二次函數(shù)解析式;
(2)連接BC,利用勾股定理逆定理可得出△ABC是直角三角形,在Rt△ABC中可求出tan∠BAC的值.
(3)根據(jù)OA=OB,可得∠BAO=45°,結(jié)合∠DAC=45°,可得∠DAO=∠BAC,設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)tan∠DAO的值可得出答案.
解答:解:(1)將點(diǎn)A(5,0)代入,可得:0=-×52+5b+5,
解得:b=,
故二次函數(shù)解析式為y=-x2+x+5.

(2)連接BC,
,
∵拋物線的解析式為y=-x2+x+5,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,5),
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6,即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,6),
則BC==,AB=5,AC==,
∵AB2=BC2+AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴tan∠BAC===

(3)∵OA=OB=5,∠BOA=90°,
∴∠BAO=45°,
又∵∠DAC=45°,
∴∠DAO=∠BAC,

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-x2+x+5),
則tan∠DAO=tan∠BAC==
解得:x1=-,x2=5(舍去),
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-,).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理的逆定理及三角函數(shù)的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵之處在于判斷才△ABC是直角三角形,對(duì)于此類綜合型題目,不要慌,一問(wèn)一問(wèn)的思考,將所學(xué)知識(shí)綜合起來(lái).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,⊙M與y軸相切于點(diǎn)C,與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn),其中x1,x2是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根,且x1<x2,連接MC,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為N.
(1)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)判斷直線NA與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿CM向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BA以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí),兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí),以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△PCO相似?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖:在直角坐標(biāo)系中放入一邊長(zhǎng)OC為6的矩形紙片ABCO,將紙翻折后,使點(diǎn)B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE,已知tan∠OB′C=
3
4

(1)求出B′點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求折痕CE所在直線的解析式;
(3)作B′G∥AB交CE于G,已知拋物線y=
1
8
x2-
14
3
通過(guò)G點(diǎn),以O(shè)為圓心OG的長(zhǎng)為精英家教網(wǎng)半徑的圓與拋物線是否還有除G點(diǎn)以外的交點(diǎn)?若有,請(qǐng)找出這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已如:如圖,在直角坐標(biāo)系中,以y軸上的點(diǎn)C為圓心,2為半徑的圓與x軸相切于原點(diǎn)O,AB為⊙C的直徑,PA切⊙O于點(diǎn)A,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)P,連接PC交OA于點(diǎn)D.
(1)求證:PC⊥OA;
(2)若點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng),原題的其他條件不變,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),四邊形
POCA的面積為S,求S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的情況下,分析并判斷是否存在這樣的一點(diǎn)P,使S四邊形POCA=S△AOB,若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不寫過(guò)程);若不存在,簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖:在直角坐標(biāo)系中描出A(-4,-4),B(1,-4),C(2,-1),D(-3,-1)四個(gè)點(diǎn).
(1)順次連接A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)組成的圖形是什么圖形?
(2)畫出(1)中圖形分別向上5個(gè)單位向右3個(gè)單位后的圖形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,A的坐標(biāo)為(a,0),D的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足
a+2
+(b-4)2=0

(1)求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形△ADB,直接寫出B的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí),將△ADB沿直線BD翻折得到△A′DB,點(diǎn)P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合),PM⊥PA交A′B于M,且PM=PA,MN⊥PB于N,請(qǐng)?zhí)骄浚篜D、PN、BN之間的數(shù)量關(guān)系.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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