Question

【題目】把順序連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形。

（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？

（2）符合什么條件的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是菱形？

（3）符合什么條件的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是矩形？

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；理由見解析；（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形；（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是矩形.

【解析】

（1）連接BD、由點(diǎn)E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，同理知FG∥BD、FG=BD，據(jù)此可得EH=FG、EH∥FG，即可得證；

（2）同理根據(jù)對(duì)角線相等，可知鄰邊相等，中點(diǎn)四邊形是菱形；

（3）同理根據(jù)對(duì)角線互相垂直，可知有一個(gè)角是直角，中點(diǎn)四邊形是矩形．

（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由是：

如圖1，連接BD，

∵點(diǎn)E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，

∴EH∥BD、EH=BD，

∵點(diǎn)F、G分別為BC、DC的中點(diǎn)，

∴FG∥BD、FG=BD，

∴EH=FG、EH∥FG，

∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形；

證明：與（1）同理：EH=FG=BD=AC=EF=HG，得它的中點(diǎn)四邊形是菱形；

（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是矩形；

證明：與（1）同理：EH∥FG∥BD，AC∥EF∥HG，

∵AC⊥BD，

∴EH、FG分別與EF、HG垂直，

∴得它的中點(diǎn)四邊形是矩形．