Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知OA＝1，OC＝OB．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若D（2，m）在該拋物線(xiàn)上，連接CD，DB，求四邊形OCDB 的面積；

（3）設(shè)E是該拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，再過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，得到矩形EFGH.在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4.；（2）16；（3）正方形的邊長(zhǎng)為或.

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，則B的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求出D的坐標(biāo)，作DM⊥x軸于點(diǎn)E．則S四邊形OCDB=S梯形OCDM+S△BMD，利用C、D的坐標(biāo)即可求出四邊形OCDB的面積；
（3）分兩種情況考慮，當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方和下方，根據(jù)E和F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，然后利用正方形的性質(zhì)即可列方程求解．

解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，得y＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）.

∵OC＝OB，

∴B的坐標(biāo)是（4，0）．

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+3x+4.

（2）∴點(diǎn)D（2，m）在拋物線(xiàn)y＝﹣x2+3x+4上，

∴﹣4+6+4＝m，解得m＝6.所以D（2，6）.

作DM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖①所示．

則S四邊形OCDB＝S梯形OCDM+S△BMD＝×（4+6）×2+×2×6＝10+6＝16．

（3）∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+3x+4，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x＝﹣.

如圖②，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x2+3x+4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-x，-x2+3x+4），EF= x-（3-x）=2x-3.

∵四邊形EFGH是正方形，

∴EF=EH.

當(dāng)E在x軸上方時(shí)，2x-3=-x2+3x+4，解得x1=，x2=（舍去）

∴EF=；當(dāng)E在x軸下方時(shí)，2x-3=-（-x2+3x+4），解得x1=，x2=（舍去）.

∴EF=.所以正方形的邊長(zhǎng)為或.