Question

（2012•湘潭）如圖，拋物線y=ax2-

3

2

x-2(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可．
（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．
（3）△MBC的面積可由S_△MBC=

1

2

BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．

解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a-

3

2

×4-2，即：a=

1

2

；
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（

3

2

，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=

1

2

x-2；
設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=

1

2

x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

1

2

x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×

1

2

（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=

1

2

x-4．
所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：

y= 1 2 x2- 3 2 x-2   y= 1 2 x-4

，
解得：

x=2 y=-3

即 M（2，-3）．
過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=

1

2

×2×（2+3）+

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=4．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．