Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=

5

4

x交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形，設(shè)正方形與△ACD重疊部分的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）多少秒時(shí)．直線EQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；
（3）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)度；
（4）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AB和直線OD的解析式組成方程組即可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)C和A的橫坐標(biāo)求出點(diǎn)E移動(dòng)的距離，即可求出多少秒時(shí)．直線EQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；
（3）分別求出點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)即可用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)度；
（4）求出正方形與△ACD重疊部的寬，再與PQ相乘即可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

4

x+6與直線y=

5

4

x交于點(diǎn)C，
∴

y= 5 4 x y=- 3 4 x+6

，
解得

x=3 y= 15 4

．
故點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，

15

4

）

（2）∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是3，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是8，
∴點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向左運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度后直線EQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C    
故5秒時(shí)，直線EQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

（3）∵當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)是8-t
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-

3

4

(8-t)+6=

3

4

t
點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是

5

4

(8-t)=10-

5

4

t
故PQ的長(zhǎng)=（10-

5

4

t）-

3

4

t=10-2t

（4）

10

3

≤t＜5時(shí)，PR=t，正方形與△ACD重疊部分的面積為正方形的面積，S=（10-2t）²=100-40t+4t²，
0＜t＜

10

3

時(shí)，正方形與△ACD重疊部分的面積為S=t（10-2t）=10t-2t²，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要注意有關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用．