Question

（2012•威海）探索發(fā)現(xiàn)
已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．
（1）如圖①，如果AD=BC，求證：直線EM是線段AB的垂直平分線．
（2）如圖②，如果AD≠BC，那么線段AM與BM是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
學(xué)以致用
僅用直尺（沒(méi)有刻度），試作出圖③中的矩形ABCD的一條對(duì)稱軸．（寫出作圖步驟，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析：（1）AD=BC，CD∥AB，則四邊形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可以得到∠DAB=∠CBA，則AE=BE，即E在AB的垂直平分線上，然后根據(jù)OA=OB即可證明O在AB的垂直平分線上，從而證得EM是AB的垂直平分線；
（2）易證△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，則依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以證得：

DN

BM

=

DN

AM

，從而證得BM=AM；
（3）根據(jù)（2）可以得到：連接AC，BD，兩線交于點(diǎn)O₁，矩形ABCD外任取一點(diǎn)E，連接EA，EB，分別交DC于點(diǎn)G，H，即可作出AB的中點(diǎn)M，則直線MO₁即為所求．

解答：（1）證明：∵AD=BC，CD∥AB．
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠DAB=∠CBA，
∴AE=BE
∴點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上，
在△ABD與△BAC中，AB=BA，AD=BC，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠1=∠2
∴OA=OB，
∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，
則直線EM是線段AB的垂直平分線；

（2）解：相等．理由：
∵CD∥AB，∴∠3=∠EAB
∵∠4=∠4，
∴△DEN∽△AEM
∴

DN

AM

=

DE

AE

，同理

DE

AE

=

DC

AB

∴

DN

AM

=

DC

AB

∵CD∥AB，
∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8，
∴△OND∽△OMB
∴

DN

BM

=

OD

OB

，同理

OD

OB

=

DC

AB

∴

DN

BM

=

DC

AB

∴

DN

BM

=

DN

AM

∴AM=BM；

（3）解：作法：如圖③①連接AC，BD，兩線交于點(diǎn)O₁
②在矩形ABCD外任取一點(diǎn)E，連接EA，EB，分別交DC于點(diǎn)G，H
③連接BG，AH，兩線交于點(diǎn)O₂．
④作直線EO₂，交AB于點(diǎn)M．
⑤作直線MO₁．
∴直線MO₁就是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，通過(guò)等量代換得到

DN

BM

=

DN

AM

是關(guān)鍵．