Question

已知：如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點A、B，點A的坐標(biāo)為（4，0）

【小題1】求該拋物線的解析式；
【小題2】點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE//AC，交BC于點E，連接CQ，設(shè)△CQE的面積為S，Q(m，0)，試求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量m的取值范圍）；
【小題3】在（2）的條件下，當(dāng)△CQE的面積最大時，求點E的坐標(biāo).
【小題4】若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標(biāo)為(2，0). 問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【小題1】
【小題1】設(shè)點Q坐標(biāo)為，過點作EG⊥x軸于G，由得，
∴點B的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為
∴AB=6   BQ=m＋2 ∵QE//AC ∴△BQE∽△BAC   又△BEG∽△BCO
∴  即   ∴
∴

即
【小題1】由（2）知
又   ∴當(dāng)時   S最大
此時   BQ=QA   又QE//CA
∴BE=EC  ∴點E為BC的中點，∴
【小題1】存在，在△ODF中
①若DO=DF  ∵A(4,0)  D(2,0) ∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中，OA=OC=4  ∴∠OAC=45°∴∠DFA=∠OAC=45°
∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標(biāo)為（2, 2）
由得 ，此時點P的坐標(biāo)為：
或
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，由等腰三角形的性質(zhì)得
  ∴AM=3  ∴在等腰直角△AMF中
MF=AM=3  ∴F(1, 3)  由
得    此時，點P的坐標(biāo)為或
③若OD=OF ∵OA=OC=4  且∠AOC=90° ∴AC=4
∴點O到AC的距離為，而OF=OD=2∠，此時，不存在這樣的直線l，
使得△ODF是等腰三角形
綜上，存在滿足條件的點或或或

解析【小題1】根據(jù)A，C兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
【小題1】根據(jù)△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標(biāo)為：±4，進而得出x的值即可；
【小題1】利用相似三角形的性質(zhì)得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，進而求出即可；
【小題1】利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)DF=OD時分別得出F點的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出P點坐標(biāo)．