【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交線段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H,連CH、CG.
(1)求證:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度數(shù);并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系,說明理由;
(3)連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)45°;HG= HO+BG;(3)(2,0).
【解析】
試題分析:(1)求證全等,觀察兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)都有直角,而CG為公共邊,進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可,因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到,所以邊都相等,即結(jié)論可證.
(2)上問的結(jié)論,本題一般都要使用才能求出結(jié)果.所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等,即BG=DG,∠DCG=∠BCG.同第一問的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH,也有對(duì)應(yīng)邊、角相等,即OH=DH,∠OCH=∠DCH.于是∠GCH為四角的和,四角恰好組成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.
(3)四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.由上幾問知DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即四邊形AEBD為矩形.求H點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)其為(x,0),則OH=x,AH=6-x.而BG為AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá),那么根據(jù)勾股定理可列方程,進(jìn)而求出x,推得H坐標(biāo).
試題解析:(1)∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF
∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG(HL),
(2)∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG,DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中
∴△CHO≌△CHD(HL)
∴∠OCH=∠DCH,OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
(3)四邊形AEBD可為矩形
如圖,
連接BD、DA、AE、EB
因?yàn)樗倪呅蜛EBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.
因?yàn)镈G=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等,則其為矩形.
所以當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形.
∵四邊形DAEB為矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)
則HO=x
∵OH=DH,BG=DG
∴HD=x,DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3,GA=3,HA=6-x
∴(x+3)2=32+(6-x)2
∴x=2
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年6月27日,四川共青圖雨城區(qū)委在中里鎮(zhèn)文化館舉辦了第二期青年剪紙培訓(xùn),參加培訓(xùn)的小王想把一塊Rt△ABC廢紙片剪去一塊矩形BDEF紙片,如圖所示,若∠C=30°,AB=10cm,則該矩形BDEF的面積最大為( 。
A.4cm3
B.5cm3
C.10cm3
D.25cm3
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【題目】一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),勻速行駛.設(shè)行駛的時(shí)間為x(時(shí)),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖中信息:
(1)求線段AB所在直線的函數(shù)解析式;
(2) 可求得甲乙兩地之間的距離為 千米;
(3)已知兩車相遇時(shí)快車走了180千米,則快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為 小時(shí).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知BC∥GE,AF∥DE,∠1=56°.
(1)求∠AFG的度數(shù);
(2)若AQ平分∠FAC,交BC于點(diǎn)Q,且∠Q=14°,求∠ACB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,a),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c,0),其中a、b滿足(a+b﹣8)2+|a﹣b+2|=0.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△ABC的面積為6時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)當(dāng)4≤S△ABC≤10時(shí),求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,且AB=4 . 點(diǎn)C,E分別在⊙O上,且OC⊥AB于點(diǎn)D,∠E=30°,連接OA.
(1)求OA的長(zhǎng);
(2)若AF是⊙O的另一條弦,且點(diǎn)O到AF的距離為2 , 直接寫出∠BAF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圖象(折線OEFPMN)描述了某汽車在行駛過程中速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 第3分時(shí)汽車的速度是40千米/時(shí)
B. 第12分時(shí)汽車的速度是0千米/時(shí)
C. 從第3分到第6分,汽車行駛了120千米
D. 從第9分到第12分,汽車的速度從60千米/時(shí)減少到0千米/時(shí)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙P與y軸相切于點(diǎn)C,⊙P的半徑是4,直線y=x被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為4 , 求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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