Question

（2009•贛州二模）如圖：P是反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，已知△POM的面積為2．
（1）求k的值；
（2）若直線y=x與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B（0，-2）的直線表達(dá)式；
（3）過(guò)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，若△ABC與△POM相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用它表示出三角形的面積，反比例函數(shù)的比例系數(shù)=這點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積；
（2）讓正比例函數(shù)和反比例函數(shù)組成方程組求出在第一象限的交點(diǎn)A，把A，B兩點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式即可；
（3）直角相等是固定的，當(dāng)另兩對(duì)角的對(duì)應(yīng)是不固定的，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．
解答：解：（1）∵△POM的面積為2，
設(shè)P（x，y），
∴xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程組，得，或，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n，
將A（2，2）B（0，-2）代入得：解之得，
∴直線AB的表達(dá)式為y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，則有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又PM•OM=2，即×2PM•PM=2，得PM=∴P（2，）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=，∴P（，2），
∴符合條件的點(diǎn)P有（2，）或（，2）．（9分）
點(diǎn)評(píng)：反比例函數(shù)的比例系數(shù)等于它上面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積；求一次函數(shù)的解析式需知道它上面的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)沒(méi)有給出相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，需注意分情況探討．