Question

8、已知|n|≤20，n是整數且能使x²+x+n能在有理數范圍內分解為兩個一次式的乘積．則滿足條件的n的個數是

5

個．

Answer 1

分析：設x²+x+n分解為（x-a）（x+a+1），其中a為整數，所以（x-a）（x+a+1）=a²+x-a²-a，得到n=-a²-a，解不等式|a²+a|＜20，求出a的值，然后把a的值代入n=-a²-a中確定n的值．

解答：解：因為n是整數且能使x²+x+n能在有理數范圍內分解為兩個一次式的乘，
所以設x²+x+n=（x-a）（x+a+1），a為整數，
得到n=-a²-a，
∵|n|≤20，∴|-a²-a|≤20
解得，-5≤a≤4的整數，
分別把a=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入n=-a²-a得到n=20，12，6，2，0．
所以滿足條件的n的個數是5個．
故答案是：5．

點評：本題考查的是一元二次方程的整數根與有理數，根據二次三項式分解為兩個一次式的乘積，得到兩個一次式的所有情況，然后確定n的值．