Question

在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8cm，BC=18cm，sin∠BCD=，點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3cm的速度移動，點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2cm的速度移動，設運動時間為t秒．

（1）如圖：若四邊形ABPQ是矩形，求t的值；
（2）若題設中的“BC=18cm”改變?yōu)椤癇C=kcm”，其它條件都不變，要使四邊形PCDQ是等腰梯形，求t與k的函數關系式，并寫出k的取值范圍；
（3）如果⊙P的半徑為6cm，⊙Q的半徑為4cm，在移動的過程中，試探索：t為何值時⊙P與⊙Q外離、外切、相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H，由AB=8cm，sin∠BCD=，可求得CD，CH的長，又由四邊形ABPQ是矩形，可得AQ=BP，即可得方程：12-2t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）再過點Q作QG⊥BC，垂足為點G，當PG=CH時，四邊形PCDQ是等腰梯形，可得BP+PG+GH+HC=BC，則可得方程：3t+6+2t+6=k，繼而求得t與k的函數關系式，并可求得k的取值范圍；
（3）由PQ=DC=10cm，可知當⊙P與⊙Q外切時有兩種情況：四邊形CDQP是等腰梯形或平行四邊形．然后分別討論求解即可求得答案．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DH⊥BC，垂足為點H，
由題意可知：AB=DH=8cm，AD=BH，
在Rt△DHC中，sin∠BCD=，
∵sin∠BCD=，
∴DC=10cm，
∴CH=（cm），…（1分）
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18cm，
∴AD=BH=12cm，…（1分）
若四邊形ABPQ是矩形，則AQ=BP，
∵AQ=12-2t（cm），BP=3tcm，
∴12-2t=3t，…（1分）
∴解得：t=；…（1分）

（2）如圖2，由（1）得CH=6cm，
再過點Q作QG⊥BC，垂足為點G，
∴四邊形DHGQ是矩形，
∴QD=GH=2t
∵當PG=CH時，四邊形PCDQ是等腰梯形，
∴PG=6cm，…（1分）
又∵BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，…（1分）
∴t=，…（1分）
∴k的取值范圍為：k＞12；…（1分）

（3）⊙P的半徑為6cm，⊙Q的半徑為4cm，
∴PQ=DC=10cm，
∴當⊙P與⊙Q外切時有兩種情況：四邊形CDQP是等腰梯形或平行四邊形．
①如圖3：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴t=，…（1分）
②如圖4：可以知道：四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴QD=PC=2tcm，
又∵BP=3tcm，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴，…（1分）
∴當和時，⊙P與⊙Q外離；…（2分）
當和時，⊙P與⊙Q外切；
當時，⊙P與⊙Q相交．…（2分）
點評：此題考查了矩形的性質、直角梯形的性質、等腰梯形的性質以及圓與圓的位置關系等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．