Question

（2002•昆明）已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問(wèn)題：
方法：∵（k為常數(shù)且k＞0，a≠0），
∵
∴
∴當(dāng)=0，即時(shí)，取得最小值2k．
問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)A在何位置時(shí)，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；
（3）如果直線(xiàn)y=mx+2（m＜0）與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，那么是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)P、Q與（2）中求出的點(diǎn)A構(gòu)成APQ的面積是矩形ABCD面積的？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)稱(chēng)性和點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出矩形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)矩形的面積建立函數(shù)解析式；
（2）要求矩形的外接圓的面積，主要是求得矩形的外接圓的半徑．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得矩形的外接圓的圓心是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則根據(jù)勾股定理求得其外接圓的半徑，再進(jìn)一步表示出其外接圓的面積S．結(jié)合（1）中的函數(shù)解析式得到S關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)提供的方法進(jìn)行分析其最小值；
（3）根據(jù)直線(xiàn)的解析式表示出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再運(yùn)用割補(bǔ)法把三角形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積表示出三角形的面積，根據(jù)題意列方程求解．
解答：解：（1）建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，
根據(jù)點(diǎn)A（x，y），得矩形的長(zhǎng)是2x，寬是2y，
則有2x•2y=36，即y=（x＞0）；

（2）連接OA，則矩形的外接圓的半徑即為OA的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，得OA=，
∴矩形的外接圓面積S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+=（x-）²+18
∴當(dāng)x-=0，x=3時(shí)，即A（3，3）時(shí)S最小，其最小值是18π；

（3）存在．設(shè)AB與y軸相交于點(diǎn)E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3-=6，
∴m=-．
點(diǎn)評(píng)：解答本題時(shí)要特別注意根據(jù)提供的方法求得函數(shù)的最值，能夠把不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換．