Question

如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（0，2）．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．
（3）試探究：若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)△BCQ是等腰三角形．在圖中作出符合條件的點(diǎn)Q的位置（保留作圖痕跡），并至少求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸解析式和A點(diǎn)坐標(biāo)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）P點(diǎn)在拋物線上方，且三角形ABP面積最大，那么P點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，因此P點(diǎn)即為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出此時(shí)三角形ABP的面積．
（3）本題有三種情況：
①Q(mào)C=QB，此時(shí)Q點(diǎn)為線段BC垂直平分線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)．
②QC=BC，以C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)均符合Q點(diǎn)的條件．
③QB=BC，以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)也都符合Q點(diǎn)的條件．因此綜合三種情況共有五個(gè)符合條件的Q點(diǎn)，可先設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式表示出BC、BQ、CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)三種情況中不同的等量關(guān)系來(lái)求出不同的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且A（-1，0）；
∴B（3，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）；
已知拋物線過(guò)C（0，2），則有：
2=a（0+1）（0-3），
即a=-

2

3

∴函數(shù)解析式y(tǒng)=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

（x-1）²+

8

3

；

（2）當(dāng)△ABP面積最大，且P在x軸上方時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．
由（1）知：P（1，

8

3

）．
∴Smax=

1

2

AB•y_P=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

．

（3）點(diǎn)Q共有五個(gè)，其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)如：Q（1，2+2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識(shí)．要注意（3）題中要將所有的情況都考慮到．