Question

如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊△AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限.一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60º得PC.
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OA的中點(diǎn)時(shí), 點(diǎn)C的坐標(biāo)為     ；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

Answer 1

（1） 
（2）過(guò)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)C作CFPA于點(diǎn)F
在Rt△OPD中  PD=OP·sin60°= 
∵
∴ 
∵
∴△BPD∽△PCF
∴CF＝，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）         
（3）取OA的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，由（2）得,.

∴
∴°.  
∴點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動(dòng).
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合.
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∴點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為    

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OA的中點(diǎn)時(shí)，BP垂直于OA，根據(jù)等邊△AOB邊長(zhǎng)為4即可得到PE的長(zhǎng)，線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60º得PC，通過(guò)解直角三角形就能求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）過(guò)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)C作CFPA于點(diǎn)F，通過(guò)銳角三角函數(shù)關(guān)系可以表示出PD，
再得到△BPD∽△PCF，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可以表示出CF，PF，就可以用含t的代數(shù)式表示
點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）取OA的中點(diǎn)M，連結(jié)MC通過(guò)的正切值可求得的度數(shù)。點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為。