Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P在邊AB上，點D、Q分別為邊BC上的點，線段AD的延長線與線段PQ的延長線交于點F，連接CP交AF于點E，若∠BPF=∠APC，FD=FQ．

（1）如圖1，求證：AF⊥CP；

（2）如圖2，作∠AFP的平分線FM交AB于點M，交BC于點N，若FN=MN，求證：；

（3）在（2）的條件下，連接DM、MQ，分別交PC于點G、H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）由∠APC=∠BPQ，得∠ACP=∠PQB，由∠FDQ=∠CDA，∠FQD=∠PQB，推出∠ACP=∠CDA，由∠ACP=∠CDA，推出CP⊥AF；

（2）作WB⊥BC，交CP延長線于點W，由△ACD≌△CBW，QBPWBP，得出CD=QB，由FM平分∠DFQ，DF=FQ,，得到 ND=NQ，F(xiàn)N⊥BC，

由MN=FN=，得到 DN=DC，由DN=NQ，得到DQ=BC；

（3）易證四邊形DFQM是平行四邊形，進而得△EDG～△HQP，即可求解．

（1）∵∠APC=∠BPQ，∠A=∠B，∠APC+∠A+∠ACP=∠BPQ+∠B+∠PQB=180°，

∴∠ACP=∠PQB，

∵FD=FQ，

∴∠FQD=∠FDQ，

又∵∠FDQ=∠CDA， ∠FQD=∠PQB，

∴∠CDA=∠PQB，

∴∠ACP=∠CDA，

∴∠CDA +∠BCP =∠ACP+∠BCP=∠ACB=90°，

∴AF⊥CP；

（2）作WB⊥BC，交CP延長線于點W，

∵∠ABC=∠PBW=45°，PB=PB，∠BPF=∠APC=∠BPW，

∴QBPWBP（ASA），

∴BQ=BW，

∵∠BCP+∠ACP=∠ACP+∠CAD=90°，

∴∠BCP=∠CAD，

∵AC=BC，∠ACD=∠CBW=90°，

∴ACDCBW（ASA），

∴CD=BW，

∴BQ= CD，

∵FM平分∠DFQ，DF=FQ，

∴ ND=NQ，F(xiàn)N⊥BC，

∴FN∥AC，

∵CD+DN=BQ+QN，

∴CN=BN，

∴MN是BAC的中位線，

∴MN=FN=，

∴，即：DN=，

∴DN=NQ==，

∴DQ= CD=BQ，

∴DQ=BC；

（3）∵DN=NQ，MN=FN，

∴四邊形DFQM是平行四邊形，

∴AF∥MQ，DM∥FP，

∴∠EGD=∠HPQ，∠DEG=∠QHP=90°，

∴△EDG～△HQP ，

∴．