Question

已知拋物線(xiàn)L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，與y軸的交點(diǎn)是M（0，c）．我們稱(chēng)以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸且過(guò)點(diǎn)P的拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)L的伴隨拋物線(xiàn)，直線(xiàn)PM為L(zhǎng)的伴隨直線(xiàn)．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)y=2x²-4x+1的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)的解析式：
伴隨拋物線(xiàn)的解析式

 

，伴隨直線(xiàn)的解析式

 

；
（2）若一條拋物線(xiàn)的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線(xiàn)的解析式是

 

；
（3）求拋物線(xiàn)L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)的解析式；
（4）若拋物線(xiàn)L與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線(xiàn)與x軸交于C、D兩點(diǎn)，且AB=CD．請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式求出其頂點(diǎn)P和拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)．然后根據(jù)M的坐標(biāo)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線(xiàn)的解析式然后將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出伴隨拋物線(xiàn)的解析式．根據(jù)M，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線(xiàn)PM的解析式；
（2）由題意可知：伴隨拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，伴隨拋物線(xiàn)與伴隨直線(xiàn)的交點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外）是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）方法同（1）；
（4）本題要考慮的a、b、c滿(mǎn)足的條件有：
拋物線(xiàn)和伴隨拋物線(xiàn)都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此△＞0，①
由于拋物線(xiàn)L中，x₂＞x₁＞0，因此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＞0，兩根的積大于0．②
根據(jù)兩拋物線(xiàn)的解析式分別求出AB、CD的長(zhǎng)，根據(jù)AB=CD可得出另一個(gè)需滿(mǎn)足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿(mǎn)足的條件．

解答：解：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）將y=-x²-3和y=-x-3組成方程組得，

y=-x2-3 y=-x-3

，
解得，

x1=0 y1=-3

或

x2=1 y1=-4

．
則原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
設(shè)原函數(shù)解析式為y=n（x-1）²-4，將（0，-3）代入y=n（x-1）²-4得，-3=n（0-1）²-4，
解得，n=1，
則原函數(shù)解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（3）∵伴隨拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（0，c），
∵設(shè)它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線(xiàn)過(guò)P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴

4ac-b2

4a

=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線(xiàn)解析式為y=-ax²+c；
設(shè)伴隨直線(xiàn)解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直線(xiàn)上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴隨直線(xiàn)解析式為y=

b

2

x+c；
（4）∵拋物線(xiàn)L與x軸有兩交點(diǎn)，
∴△₁=b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac；
∵x₂＞x₁＞0，
∴x₂+x₁=-

b

a

＞0，x₁•x₂=

c

a

＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
對(duì)于伴隨拋物線(xiàn)有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±

c a

．
∴C（-

c a

，0），D（

c a

，0），CD=2

c a

，
又AB=x₂-x₁=

(x2-x1)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac

|a|

，
∵AB=CD，則有：2

c a

=

b2-4ac

|a|

，即b²=8ac，
綜合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需滿(mǎn)足的條件為：
b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．