Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原來(lái)的速度沿BO返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒．
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)(未到達(dá)點(diǎn)B)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17若存在，請(qǐng)求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)為直線(xiàn)l．是否存在t的值，使得直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O?若存在，請(qǐng)求出所有t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）P（，﹣x+3）；
（2）不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；
（3），t=或時(shí)，O在l的垂直平分線(xiàn)上．

解析試題分析：（1）表示邊長(zhǎng)首要就是表示出來(lái)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及線(xiàn)段成比例等性質(zhì)易表示出，PD，PC的長(zhǎng)，即得坐標(biāo)；
（2）討論面積一般是計(jì)算底和高，然后表示出面積解析式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論最值或范圍．而第一問(wèn)求得OA=3，OB=4，易得S_△AOB僅為6，而S_△BQP≤S_△AOB，所以定不存在實(shí)數(shù)t，使得面積大于17；
（3）垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等，利用這個(gè)性質(zhì)，我們只要表示出OP，和OQ即可．但討論時(shí)注意Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)個(gè)往返的過(guò)程，要有兩種情形．
試題解析：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．

∵y=﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴，
∵BP=t，
∴，
∴．
∵由點(diǎn)P過(guò)AB，
∴將x=代入y=﹣x+3，得y=﹣x+3，
∴P（，﹣x+3）；
（2）不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17．
∵Q、P在OB、OA上運(yùn)動(dòng)，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=OA·OB==6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；
（3）∵P（，﹣x+3），
∴OC=，PC=﹣x+3，
∴OP²=（）²+（﹣x+3）²，
∵O在l的垂直平分線(xiàn)上，
∴OP=OQ．
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OP=t，則t²=（）²+（﹣t+3）²，解得 t=，符合要求．
②當(dāng)3＜t≤5時(shí)，
∵BQ=t﹣3，
∴OQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，
∴（6﹣t）²=（）²+（﹣t+3）²
解得 t=，符合要求．
綜上所述，t=或時(shí)，O在l的垂直平分線(xiàn)上．
考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．