Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．

（1）求證：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵PD切⊙O于點D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半徑等于3．

【解析】（1）連接OD，利用切線的性質(zhì)和已知可證得OD∥BE，進而可得∠ADO=∠E，再由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，則∠OAD=∠E，根據(jù)等腰三角形的判定可證得；
（2）由OD∥BE，可得∠POD=∠B，可得cos∠POD=，在Rt△POD中，cos∠POD=，進而可求出OA的長，即可得半徑的長.