如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，2
3
），點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在OA上，且AH=
1
2
，過點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G，現(xiàn)將矩形折疊，使頂點(diǎn)C落在HG上，并與HG上的點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)．

（1）求∠CEF的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求折痕EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)P在直線EF上，當(dāng)△PFD為等腰三角形時，試問滿足條件的點(diǎn)P有幾個，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出解答過程．
分析：（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以求出ED=1，利用三角函數(shù)值求出∠GED的度數(shù)，從而可以求出∠CEF的度數(shù)，利用勾股定理DG的值就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求出CF的值，從而求出F的坐標(biāo)，設(shè)出直線EF的解析式，直接利用待定系數(shù)法求出其解析式就可以了；
（3）如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB=
2
2
=1．
∵△FCE與△FDE關(guān)于直線EF對稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=
1
2
，
∴EG=EB-AH=1-
1
2
=
1
2
．
∵cos∠GED=
EG
ED
=
1
2
，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=
120
2
=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG2=ED2-EG2=1-
1
4
=
3
4

∴DG=
3
2

 DH=AB-DG=2
3
-
3
2
=
3
3
2

 OH=OA-AH=2-
1
2
=
3
2

故D（-
3
2
，
3
3
2
）

 （2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=
3

∴OF=OC-CF=2
3
-
3
=
3

∴F（0，
3
），E（-1，2
3
）
設(shè)EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由圖象，得
  
3
=b
2
3
=-k+b
，
解得：
k=-
3
b=
3
   
故EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-
3
x+
3
；

（3）∵DF=CF=
3
點(diǎn)P在直線EF上，
∴當(dāng)△PFD為等腰三角形時，有以下三種情況：
（a）P1F=DF=
3
，
可令P1（t，-
3
t+
3
），則：
P1F2=3
∴由兩點(diǎn)間的距離公式為：
（t-0）2+（-
3
t+
3
-
3
）2=3
∴t2+3t2=3
∴t2=
3
4
，
∴t1=-
3
2
，t2=
3
2

∴P1（-
3
2
，
3
2
+
3
）； P3（
3
2
，-
3
2
+
3
）
（b） PD=DF=
3
時，
仍令P（t，-
3
t+
3
），注意D（-
3
2
，
3
3
2
），則：
PD2=3
∴（t+
3
2
）2+（-
3
t+
3
-
3
3
2
）2=3
∴t2+3t+
9
4
+3t2+3t+
3
4
=3
∴4t2+6t=0
∴t1=0，t2=-
3
2

∵t1=0對應(yīng)F點(diǎn)，此時不構(gòu)成三角形，故舍去．
∴P4（-
3
2
，
5
3
2
）
（c）當(dāng) PD=PF
仍令P（t，-
3
t+
3
），注意D（-
3
2
，
3
3
2
），F(xiàn)（0，
3
），則：
PD2=PF2
∴（t+
3
2
）2+（-
3
t+
3
-
3
3
2
）2=（t-0）2+（-
3
t+
3
-
3
）2，
∴t2+3t+
9
4
+3t2+3t+
3
4
=t2+3t2
∴6t+3=0
∴t=-
1
2

∴P4（-
1
2
，
3
3
2
）．
故滿足條件的點(diǎn)P有4個．分別是：（-
3
2
，
5
3
2
）、（
3
2
，
3
-
3
2
）、（-
3
2
，
3
+
3
2
）、（-
1
2
，
3
3
2
）．
點(diǎn)評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用及等腰的三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時求出直線EF的解析式時關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，若OA、OC的長滿足|OA-2|+(OC-2
3
)2=0．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把△ABC沿AC對折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，線段AB′與x軸交于點(diǎn)D，求直線BB′的解析式；
（3）在直線BB′上是否存在點(diǎn)P，使△ADP為直角三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OA=3，AB=2．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，與x軸分別交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)），且OE=1，則下列結(jié)論：
①a＞0；②c＞3；③2a-b=0；④4a-2b+c=3；⑤連接AE、BD，則S梯形ABDE=9．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昆明）如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浙江二模）如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3），C（4，0），點(diǎn)P為直線AB上一動點(diǎn)，將直線OP繞點(diǎn)P逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°交直線BC于點(diǎn)Q，當(dāng)△POQ為等腰三角形時，點(diǎn)P坐標(biāo)為
P1（1，3），P2（7，3）
P1（1，3），P2（7，3）
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮安）如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）．
（1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM=
45
45
°，OM=
2
2
2
2
；
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位．
①直線GH與x軸交于點(diǎn)D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位，試求當(dāng)0＜t≤4
2
-2時，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

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