Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于點(diǎn)O．

（1）求證：OE=OF；

（2）若點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，求證：四邊形DECF是矩形．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可證得∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，則可求得OE=OC=OF；

（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合條件可證得四邊形DECF為平行四邊形，再利用角平分線的定義可求得∠ECF為直角，則可證得四邊形DECF為矩形．

試題解析：解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．

∵EF∥BC，∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；

（2）∵點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，∴OD=OC．又∵OE=OF，∴四邊形DECF是平行四邊形．

∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE=∠BCD，∠DCF=∠DCG，∴∠DCE+∠DCF=（∠BCD+∠DCG）=90°，即∠ECF=90°，∴四邊形DECF是矩形．