Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB＝2，BC＝，點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)，連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB′C′E，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、C′．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求DF的長(zhǎng)；

（2）若B′C′分別交邊AD，CD于點(diǎn)F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面積；

（3）如果點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，那么在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，求C′M的最小值.

Answer 1

【答案】(1) DF=；(2) ；(3) 4-

【解析】

（1）根據(jù)特殊直角三角形求出∠FCD=30°, 在Rt△CDF中利用三角函數(shù)即可求解,

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,求出DF的長(zhǎng)即可解題,

（3）找到C′,在Rt△ADM中和Rt△A B′C′中,勾股定理求出AM和A C′的長(zhǎng)即可解題.

解：（1）如下圖,

∵四邊形ABCD是矩形, AB＝2，BC＝，

∴易證∠ACB=30°,

由旋轉(zhuǎn)可知∠ACF=30°,

∴∠FCD=30°,

在Rt△CDF中,DF=tan30°CD=,

（2）如下圖,由旋轉(zhuǎn)可知,AB= AB′=2,BC= B′C′=,

∵∠DAE＝22.5°，

∴∠BAE=67.5°,∠B′AF=45°,

∴△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,

∴AF=2,DF=-2,

S△DFG=DF2=,

（3）連接AM并延長(zhǎng)到點(diǎn)C′,連接A C′,M C′即為所求,見(jiàn)下圖,

∵M(jìn)為CD的中點(diǎn),

∴DM=1,

在Rt△ADM中,AM=,

在Rt△A B′C′中, A C′=4,

∴M C′=4-.