Question

【題目】一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12cm（如圖1），點G為邊BC（EF）的中點，邊FD與AB相交于點H，此時線段BH的長是_____．現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在∠CGF從0°到60°的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長共為_____．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】（12﹣12）cm （12﹣18）cm

【解析】

如圖1中，作于，設(shè)．在中，，，根據(jù)，可得，推出，推出．如圖2中，當(dāng)時，易證，此時的值最小，易知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，與重合，易知，觀察圖象可知，在從到的變化過程中，點相應(yīng)移動的路徑長，由此即可解決問題．

解：如圖1中，作HM⊥BC于M，設(shè)HM＝a，則CM＝HM＝a．

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，

在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝a，

∵BM+FM＝BC，

∴a+a＝12，

∴a＝6﹣6，

∴BH＝2a＝12﹣12．

如圖2中，當(dāng)DG⊥AB時，易證GH1⊥DF，此時BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH1＝3+3，

∴HH1＝BH﹣BH1＝9﹣15，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，F與H2重合，易知BH2＝6，

觀察圖象可知，在∠CGF從0°到60°的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長＝2HH1+HH2＝18﹣30+[6﹣（12﹣12）]＝12﹣18．

故答案為（12﹣12）cm，（12﹣18）cm．