Question

如圖，△ABC中AB的垂直平分線交AC、AB于點(diǎn)P、Q，若PC=2PA，AB=2

2

，∠A=45°，則PC=

 

，BC=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等及已知條件“∠A=45°”證明△APB是等腰直角三角形，然后在△PAB中利用勾股定理求得PA的長(zhǎng)度是2，從而求得PC=4；在直角三角形PCB中，根據(jù)勾股定理求BC的長(zhǎng)度．

解答：解：∵AB的垂直平分線交AC、AB于點(diǎn)P、Q，
∴PA=PB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），
∴∠A=∠PBA（等邊對(duì)等角）；
又∠A=45°，
∴∠APB=90°（三角形內(nèi)角和定理），即PB⊥AC，
∵AB=2

2

，
∴AB=

2

PA=2

2

，
∴PA=PB=2；
∵PC=2PA=4；
在直角三角形PBC中，
BC²=PC²+PB²=16+4=20，
∴BC=2

5

；
故答案是：4、2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．