Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，M是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)弧AC=弧CD=弧DB和點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判斷①②；根據(jù)圓周角定理求出M和A重合時(shí)，∠MDE=60°，即可判斷③；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出M的位置，根據(jù)圓周角定理求出此時(shí)CE為直徑，即可得到CE的長(zhǎng)，判斷④.

∵弧AC=弧CD=弧DB，

∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，

故①正確；

∵AB為直徑，且點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)

∴∠E=∠D，AB⊥DE

∴∠CED=∠DOB=30°，

故②正確；

∵M和A重合時(shí)，∠MDE=60°，

∴∠MDE+∠E=90°

∴DM⊥CE

故③不正確；

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知D與E對(duì)稱，連接CE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知這時(shí)的CM+DM最短，

∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°

∴CE為直徑，即CE=10，

故④正確.

故選：C.