Question

已知一次函數(shù)y=-

3

4

x-12的圖象分別交x軸，y軸于A，C兩點．
（1）求出A，C兩點的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找出點B，使△ACB∽△AOC，若拋物線過A，B，C三點，求出此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)動點P、Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同速度沿AC、BA向C，A運動，連接PQ，設(shè)AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出所有m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令直線的解析式中y=0可得出A的坐標(biāo)，令x=0，可得出C的坐標(biāo)．
（2）要使△ACB∽△AOC，則B點必為過C點且垂直于AC的直線與x軸的交點．那么根據(jù)射影定理不難得出B點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．
（3）本題可分兩種情況進行求解：①當(dāng)PQ∥BC時，△APQ∽△ACB；②當(dāng)PQ⊥AB時，△APQ∽△ACB．可根據(jù)各自得出的不同的對應(yīng)成比例線段求出m的值．

解答：解：（1）在一次函數(shù)y=-

3

4

x-12中，當(dāng)x=0時，y=-12；
當(dāng)y=0時，x=-16，即A（-16，0），C（0，-12）

（2）過C作CB⊥AC，交x軸于點B，顯然，點B為所求．
則OC²=OA•OB，此時OB=9，可求得B（9，0）；
此時經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=

1

12

x²+

7

12

x-12

（3）當(dāng)PQ∥BC時，如圖（1），△APQ∽△ACB；則有：

AP

AC

=

AQ

AB

，即

m

20

=

25-m

25

，
解得m=

100

9

．
當(dāng)PQ⊥AB時，△APQ∽△ACB；有：

AQ

AC

=

AP

AB

，即

25-m

20

=

m

25

，
解得m=

125

9

．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．