Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意點，如果滿足 (x≥0，a為常數(shù))，那么我們稱這樣的點叫做“特征點”．

（1）當(dāng)2≤a≤3時，

①在點中，滿足此條件的特征點為__________________；

②⊙W的圓心為，半徑為1，如果⊙W上始終存在滿足條件的特征點，請畫出示意圖，并直接寫出m的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，請利用特征點求出該函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）最小值為2．

【解析】

（1）①根據(jù)“特征點”的定義判斷即可；

②如圖2中，當(dāng)⊙W1與直線y=x+2相切時，，當(dāng)⊙W2與直線y=x+3相切時，，結(jié)合圖象，⊙W與圖中陰影部分有交點時，⊙W上存在滿足條件的特征點．

（2）特征點的圖象是由原點向外擴大，當(dāng)與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點時，的值最小（如圖3中）．

解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，

又∵2≤a≤3，

∴A，C是特征點，

故答案為：；

②如圖1，∵2≤a≤3，

∴直線y=x+2和直線y=x+3之間的區(qū)域（包括兩直線）上的點都為“特征點”，

直線y=x+2和直線y=x+3分別與x軸的交點為，，

當(dāng)⊙W1與直線y=x+2相切時，設(shè)切點為M，

此時，，，則為等腰直角三角形，

∵⊙W1半徑為1，即，

∴，則，

∴，

當(dāng)⊙W2與直線y=x+3相切時，設(shè)切點為N，

此時，，，則為等腰直角三角形，

同理得：，則，

∴，

觀察圖象可知滿足條件的m取值范圍為：；

（2）根據(jù)，在第一象限畫出的圖象，

∴在此坐標(biāo)系中圖象上的點就是，

∵特征點滿足（x≥0，a為常數(shù)），

∴在此圖象上對應(yīng)的就是，

∴將特征點的圖象由原點向外擴大，當(dāng)與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點時，出現(xiàn)最小值，

如圖2，由x>0可將整理得：，

∴，解得：，（舍去），

∴，

∴，即的最小值為2．