Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b2-4ac>0；有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時(shí)，y<0，則a+b+c<0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時(shí)，ax2+bx+c=2，所以說(shuō)方程ax2+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b24ac>0，所以①錯(cuò)誤；

∵頂點(diǎn)為D(1,2)，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(3,0)和(2,0)之間，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)和(1,0)之間，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y<0，

∴a+b+c<0，所以②正確；

∵拋物線的頂點(diǎn)為D(1,2)，

∴ab+c=2，

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x==1，

∴b=2a，

∴a2a+c=2，即ca=2，所以③正確；

∵當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，

即只有x=1時(shí),ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確.

故選：C.