Question

（2010•武漢）已知：線段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連接AC，BD交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB，且D為OA中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，且時(shí)，求tan∠BPC的值．
（3）如圖3，當(dāng)AD：AO：OB=1：n：時(shí)，直接寫出tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作BO的平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根據(jù)C是BO的中點(diǎn)，可以求出PE：PC=1：2，再根據(jù)三角形中位線定理，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，利用比例變形即可求出AP與PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再過D作DF⊥AC于F，設(shè)AD為a，利用勾股定理求出AC等于2a，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC與∠FPD是對頂角，所以其正切值便可求出．
（3）根據(jù)（2）的方法，把相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行代換即可求出．
解答：
解：（1）過D作DE∥CO交AC于E，
∵D為OA中點(diǎn)，
∴AE=CE=，，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴BC=CO，，
∴，
∴PC==，
∴=2；

（2）過點(diǎn)D作DE∥BO交AC于E，
∵，
∴==，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴PC==，
過D作DF⊥AC，垂足為F，設(shè)AD=a，則AO=4a，
∵OA=OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC===2a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴，
∴AF=，DF=，
PF=AC-AF-PC=2a--=，
tan∠BPC=tan∠FPD==．

（3）與（2）的方法相同，設(shè)AD=a，求出DF=a，
PF=a，所以tan∠BPC=．
點(diǎn)評：本題難度較大，需要對平行線分線段成比例定理靈活運(yùn)用，根據(jù)勾股定理構(gòu)造出直角三角形并求出其直角邊的長，準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn)，這就要求同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中對公式定理要熟練掌握并靈活運(yùn)用，不斷提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．