Question

18．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF，CF．在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)寫(xiě)出與∠AEF相等的所有角∠DCF，∠BCF，∠DFC．

Answer 1

分析 先證明∠DFC=∠BCF，再證明DF=CD，得出∠DFC=∠DCF，連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于G，先證明CF=GF，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出EF=FC，求出∠EFC=∠FCE，即可得出答案．

解答 解：∠DCF、∠BCF、∠DFC，
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，
∴DF=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于G，如圖所示：
∵F是AD的中點(diǎn)，AB∥CD，
∴CF=GF，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CG=CF=GF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠FEC=∠DCF+∠FCE，
∴∠AEF=∠DCF，
即∠AEF=∠DCF=∠DFC=∠BCF，
故答案為：∠DCF、∠BCF、∠DFC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行有關(guān)推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵