Question

【題目】如圖，在正方形中，對角線與相交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)．

求證：；

點(diǎn)、點(diǎn)分別同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止，如圖，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請猜想，與三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

在的條件下，當(dāng)，時(shí)，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析； ；．

【解析】

（1）過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到OF=FG，然后利用正方形的性質(zhì)可以得到條件證明Rt△AOF≌Rt△AGF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明題目結(jié)論．（2）過作，過作，可知四邊形是矩形，根據(jù)，可知四邊形是正方形，進(jìn)而得：，所以是三角形的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)即可求出答案.（3）由F1是內(nèi)心，E1、G1、H1是切點(diǎn)可知，可求出，根據(jù)勾股定理求出AB的長，即可求出BD的長.

過作于，

∵平分，，，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

直角三角形中，，

∴，

∴，

∴．

過作，過作，則四邊形是矩形．

由可得，因此四邊形是正方形．

∴，

即：是三角形的內(nèi)心，

∴EF1=（A1B+BC1-A1C1） 2…①

∵，而，

∴，

因此①式可寫成：，

即 AB-EF1=A1C

解：由得，是三角形的內(nèi)心，且、、都是切點(diǎn)．

∴，

如果設(shè)，

，

∴，

在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有，

即：，

解得，

∴．