Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，有很多點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，我們把這樣的點(diǎn)定義為“夢(mèng)之點(diǎn)”，比如：（-1，-1）、$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、（0，0）、$（{\sqrt{3}，\sqrt{3}}）…$根據(jù)上述信息，完成下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)直接寫出反比例函數(shù)$y=\frac{9}{x}$上的所有“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3，3）和（-3，-3）；
（2）若一次函數(shù)y=mx-m+1（m≠0）的圖象上只存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）若二次函數(shù)y=x²+ax-a（a是常數(shù)）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”P（p，p）、Q（-p，-p），請(qǐng)求出a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案
（2）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
（3）先將P（p，p）、Q（-p，-p）代入y=x²+ax-a，得到ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，根據(jù)方程的解的定義可知p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，即可得出a的值．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)$y=\frac{9}{x}$上的“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，a），則
k=a²=9，
解得a=±3，
故反比例函數(shù)$y=\frac{9}{x}$上的所有“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3，3）和（-3，-3），
故答案為（3，3）和（-3，-3）；
（2）設(shè)“夢(mèng)之點(diǎn)”是（b，b），
把（b，b）代入y=kx-k+1（k≠1），得b=kb-k+1．
化簡(jiǎn)，得b-kb=1-k．
解得b=1，
故一次函數(shù)y=mx-m+1（m≠0）的圖象上只存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，即“夢(mèng)之點(diǎn)”是（1，1），
故函數(shù)y=kx-k+1（k≠1）的圖象上有“夢(mèng)之點(diǎn)”是（1，1）．
（3）∵二次函數(shù)y=x²+ax-a（a是常數(shù)）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”P（p，p）、Q（-p，-p），
∴p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，
∴ap²+（a-1）p-a=0，ap²-（a-1）p-a=0，
∴p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的兩個(gè)不等實(shí)根，
∴p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．