Question

已知：如圖，P是⊙O直徑AB延長線上一點，過P的直線交⊙O于C、D兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E。

⑴ 求證：PC·PD=PO·PE；

⑵ 若DE⊥CF，∠P=15⁰，⊙O的半徑為2，求弦CF的長

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）

【解析】(1) 證明：連結DO，

∵直徑AB⊥DF，   ∴ AD=AF

              ∴∠DOA=∠DCF

              ∵∠DOP+∠DOA=180^O     ，

∠PCE+∠DCF=180^O  

      ∴ ∠DOP=∠ECP……（2分）

              ∵∠P=∠P

           ∴ΔPOD∽ΔPCE 

      ∴   即PC·PD=PO·PE……（2分）

（2）解：∵直徑AB⊥DF，∴ DH=FH   ∴ ED=EF

        ∴ EH平分∠DEF

        ∵ DE⊥CF  ∴ ∠DEC=∠DEF=90^O

        ∴ ∠FEH=45^O    ∠CEP=45^O

        ∵ ∠DCE=∠P+∠CEP=15^O+45^O=60^O

        ∴ ∠DOH=60^O　　　　　　　　　　……（2分）

        在RtΔDOH中，由sin60^O=

        ∴ DH=        ∴ DH=

        ∵    ∴

        ∴ 　　　　　　　……（2分）

        在RtΔDCF中，由

　　　　∴　

　　　　∴　　……（1分）