Question

14．有這樣一對數(shù)：一個(gè)數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來就變成另一個(gè)數(shù)，簡單地說就是順序相反的兩個(gè)數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)互稱為反序數(shù)．比如：123的反序數(shù)是321，4056的反序數(shù)是6504．根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問題：
（1）已知一個(gè)三位數(shù)，其數(shù)位上的數(shù)字為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，求證：原三位數(shù)與其反序數(shù)之差的絕對值等于198；
（2）若一個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之和是一個(gè)完全平方數(shù)，求滿足上述條件的所有兩位數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)連續(xù)自然數(shù)中間的一個(gè)為x，則其他的兩個(gè)為x-1，x+1，表示出原三位數(shù)與反序數(shù)，驗(yàn)證即可；
（2）設(shè)兩位數(shù)十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，表示出兩位數(shù)與反序數(shù)，根據(jù)題意確定出即可．

解答 解：（1）設(shè)連續(xù)自然數(shù)中間的一個(gè)為x，則其他的兩個(gè)為x-1，x+1，
根據(jù)題意得：[100（x+1）+10x+x-1]-[100（x-1）+10x+x+1]=100x+100+11x-1-100x+100-11x-1=198，
則原三位數(shù)與其反序數(shù)之差的絕對值等于198；
（2）設(shè)兩位數(shù)十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，
根據(jù)題意得：10a+b+10b+a=11（a+b），
由和為完全平方數(shù)，得到a+b=11，
a=2，b=9；a=3，b=8；a=4，b=7；a=5，b=6；a=6，b=5；a=7，b=4；a=8，b=3；a=9，b=2，
則滿足上述條件的所有兩位數(shù)為29，38，47，56，65，74，83，92．

點(diǎn)評 此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．