Question

如圖①，拋物線y=ax²+bx+c過原點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)有最小值，并經(jīng)過點(diǎn)A（-4，2），同時(shí)AB平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B；
（1）求該拋物線的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使△AOC與△BOD相似？
（3）如圖②，將△AOB繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△A′OB′的位置，當(dāng)線段A′B′的中點(diǎn)E正好落在直線OA上時(shí)，求直線A′B′與直線AB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB∥x軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)，可求得OA、OB、AB的長，即可由勾股定理的逆定理判定△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即∠AOC、∠BOD互余，由此可得∠OAC=∠BOD；若△AOC與△BOD相似，則有兩種情況：
①∠BDO=90°，此時(shí)BD⊥x軸，根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②∠OBD=90°，此時(shí)△AOC∽△ODB，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)直線OA與A′B′的交點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時(shí)，由于△A′OB′是由△AOB旋轉(zhuǎn)而得，那么∠A′OB′=90°，在Rt△A′OB′中，若M是斜邊A′B′的中點(diǎn)，那么A′M=OM，即∠MOA′=∠A′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠A=∠A′，等量代換后可求得AB∥OA′，即A′在x軸上，由此可求得點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)，進(jìn)而可確定直線A′B′的解析式，聯(lián)立直線AB的解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，也可能落在直線OA上，解法同上．
解答：解：（1）∵AB∥x軸，且拋物線同時(shí)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱；
由于A（-4，2），故B（1，2）；
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
，解得；
故拋物線解析式為；（1分）
點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，2）；（1分）

（2）∵A（-4，2），B（1，2），O（0，0），
∴AB=5，OA=2，OB=；
∴OB²+OA²=5+20=25=AB²，
故△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BOD；
若∠BDO=90°，則△ACO∽△ODB，此時(shí)D（1，0）；（2分）
若∠OBD=90°，則△ACO∽△OBD，
∴，得OD=5，
∴D（5，0）；（2分）

（3）當(dāng)線段A′B′的中點(diǎn)落在第二象限時(shí)，設(shè)A'B'與直線OA的交點(diǎn)為M，
∵∠A′OB′=90°，
∴A'M=OM，
∴∠MOA′=∠A′=∠A，
∴AB∥OA′；
∵AB∥x軸，
∴OA′與x軸重合；
此時(shí)A′（，0），，
則直線A′B′的函數(shù)，（2分）
點(diǎn)P坐標(biāo)為．（2分）
當(dāng)線段A′B′的中點(diǎn)落在第四象限時(shí)，同理P坐標(biāo)為．（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．（3）題要仔細(xì)審題，注意關(guān)鍵詞“直線OA”，不要遺漏點(diǎn)E在第四象限的情況．