Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)△DEC統(tǒng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，如圖2．

①當(dāng)∠B=∠E=30°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為 ；

②當(dāng)∠B=∠E=α時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為 (用含a的式子表示)．

（2）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小楊同學(xué)猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請(qǐng)你證明小楊同學(xué)的猜想．若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②2α；（2）小楊同學(xué)猜想是正確的．證明見解析．

【解析】

（1）①證明△ADC是等邊三角形即可．
②如圖2中，作CH⊥AD于H．想辦法證明∠ACD=2∠B即可解決問題．
（2）小揚(yáng)同學(xué)猜想是正確的．過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，想辦法證明△CBN≌△CEM（AAS）即可解決問題．

解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠CAD=90°﹣30°=60°．

∵CA=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

∴旋轉(zhuǎn)角為60°．

故答案為：60°．

②如圖2中，作CH⊥AD于H．

∵CA=CD，CH⊥AD，

∴∠ACH=∠DCH．

∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠ACH=∠B，

∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，

∴旋轉(zhuǎn)角為2α．

故答案為：2α．

（2）小楊同學(xué)猜想是正確的．證明如下：

過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3．

∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，

∴∠BNC=∠EMC=90°．

∵△ACB≌△DCE，

∴BC=EC，

在△CBN和△CEM中，

∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，

∴△CBN≌△CEM(AAS)，

∴BN=EM．

∵S△BDCCDBN，S△ACEACEM．

∵CD=AC，

∴S△BDC=S△ACE．