Question

【題目】如圖，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)以 2cm/s 速度向點(diǎn) c 移動，同時(shí)動點(diǎn) Q 從 C 出發(fā)以 1cm/s 的速度向點(diǎn) A 移動， 設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為 t．

（1）根據(jù)題意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代數(shù)式表示）

（2）t 為何值時(shí)，△CPQ 的面積等于△ABC 面積的？

（3）運(yùn)動幾秒時(shí)，△CPQ 與△CBA 相似？

Answer 1

【答案】（1）PC=4﹣2t，CQ=t（2）經(jīng)過或秒后，△CPQ 的面積等于△ABC 面積的（3）1.2 或

【解析】

（1）由動點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)以 2cm/s 速度向點(diǎn) c 移動，同時(shí)動點(diǎn) Q 從 C 出發(fā)以 1cm/s 的速度向點(diǎn) A 移動， 設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為 t，可得PC為4﹣2t，CQ為t；

(2)由△CPQ 的面積等于△ABC 面積的，可列方程(4-2t)t= ××3×4，求出t的值即可；

(3)分Rt△ABC∽Rt△QPC與Rt△ABC∽Rt△PQC兩種情況討論，有對應(yīng)邊成比例，可求得t的值.

(1)經(jīng)過t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，

(2)當(dāng)△CPQ 的面積等于△ABC面積的時(shí),即(4-2t)t= ××3×4，

解得；t=或 t=；

答：經(jīng)過或秒后，△CPQ 的面積等于△ABC 面積是；

（3）設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 則=，即=，解得 t=1.2；

②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 則=，即=，解得 t=；

由 P 點(diǎn)在 BC 邊上的運(yùn)動速度為 2cm/s，Q 點(diǎn)在 AC 邊上的速度為 1cm/s，可求出t 的取值范圍應(yīng)該為 0＜t＜2，

驗(yàn)證可知①②兩種情況下所求的 t 均滿足條件．

答：要使△CPQ 與△CBA 相似，運(yùn)動的時(shí)間為 1.2 或秒．