Question

【題目】空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長(zhǎng)為100米．

（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長(zhǎng)；

（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請(qǐng)你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）利用舊墻AD的長(zhǎng)為10米．（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）按題意設(shè)出AD，表示AB構(gòu)成方程；

（2）根據(jù)舊墻長(zhǎng)度a和AD長(zhǎng)度表示矩形菜園長(zhǎng)和寬，注意分類討論s與菜園邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）設(shè)AD=x米，則AB=米

依題意得，＝450

解得x1=10，x2=90

∵a=20，且x≤a

∴x=90舍去

∴利用舊墻AD的長(zhǎng)為10米．

（2）設(shè)AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米

①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意

得：

S=，0＜x＜a

∵0＜a＜50

∴x＜a＜50時(shí)，S隨x的增大而增大

當(dāng)x=a時(shí)，S最大=50a-a2

②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得

S=，a≤x＜50+

當(dāng)a＜25+＜50時(shí)，即0＜a＜時(shí)，

則x=25+時(shí)，S最大=（25+）2=，

當(dāng)25+≤a，即≤a＜50時(shí)，S隨x的增大而減小

∴x=a時(shí)，S最大==，

綜合①②，當(dāng)0＜a＜時(shí)，-（）=＞0

＞，此時(shí)，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米

當(dāng)≤a＜50時(shí)，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．

∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，圍成長(zhǎng)和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；

當(dāng)≤a＜50時(shí)，圍成長(zhǎng)為a米，寬為（50-）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．