Question

如圖，正方形ABCD邊長為1，當M,N分別在BC,CD上，使得△CMN的周長為2，

①試證明∠NAM=45°②試求△AMN的面積最小值.

Answer 1

解：（1）如圖:延長CB到L,使BL=DN.則Rt△ABL≌Rt△ADN.

故AL=AN,∠LAB=∠NAD,∠NAL=∠DAB=90°。

又MN=2-CN-CM=1-CN+1-CM=DN+BM=BL+BM=ML

且AM為公共邊，則△AMN≌△AML.

故∠AMN=∠MAL=1/2×90°=45°（5分）

（2）設(shè)CM=x,CN=y,MN=z.則

x+y+z=2,x2+y2=z2

把x消去，得：（2-y-z)2+y2=z2,即

2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0

因y>0,考慮其判別式△=4（z-2)2-32(1-z)≥0

所以,

又z>0,則z≥.

當且僅當x=y=時，上式等號成立。

注意到

故△AMN面積最小值為（6分）