Question

（2011?金華）如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為．在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O´B´．
當(dāng)點(diǎn)O´與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___________
設(shè)P（t，0），當(dāng)O´B´與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是______________

Answer 1

（4，0）  4≤t≤2或﹣2≤t≤4．

（1）當(dāng)點(diǎn)O´與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵∠AOB=60°，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O´B´．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），
（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=t，OO′=t，
過O′作O′N⊥X軸于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=t，NO′=t，
∴O′（t，t），
根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P在直線O′B′上，
設(shè)直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，
解得：，
∴y=﹣x+t①，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2，
∴A（2，2）），代入反比例函數(shù)的解析式得：k=4，
∴y=②，
①②聯(lián)立得，x²﹣tx+4=0，
即x²﹣tx+4=0③，
b²﹣4ac=t²﹣4×1×4≥0，
解得：t≥4，t≤﹣4．
又O′B′=2，根據(jù)對(duì)稱性得B′點(diǎn)橫坐標(biāo)是1+t，
當(dāng)點(diǎn)B′為直線與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，
由③得，（x﹣t）²﹣+4=0，
代入，得（1+t﹣t）²﹣+4=0，
解得t=±2，
而當(dāng)線段O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，
t≤2或t≥﹣2，
綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．