Question

一家圖文廣告公司制作的宣傳畫(huà)板頗受商家歡迎，這種畫(huà)板的厚度忽略不計(jì)，形狀均為正方形，邊長(zhǎng)在10～30dm之間．每張畫(huà)板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：dm²）成正比例，每張畫(huà)板的出售價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與畫(huà)板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的．浮動(dòng)價(jià)與畫(huà)板的邊長(zhǎng)成正比例．在營(yíng)銷(xiāo)過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．

畫(huà)板的邊長(zhǎng)（dm）	10	20
出售價(jià)（元/張）	160	220

（1）求一張畫(huà)板的出售價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知出售一張邊長(zhǎng)為30dm的畫(huà)板，獲得的利潤(rùn)為130元（利潤(rùn)＝出售價(jià)－成本價(jià)），
①求一張畫(huà)板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)之間滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)邊長(zhǎng)為多少時(shí)，出售一張畫(huà)板所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

(1)y＝6x＋100；（2）W＝－x²＋6x＋100，154.

試題分析：（1）每張畫(huà)板的成本價(jià)與它的面積成正比例，可設(shè)其解析式為y成本價(jià)=ax²，每張畫(huà)板的出售價(jià)由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與畫(huà)板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的．浮動(dòng)價(jià)與畫(huà)板的邊長(zhǎng)成正比例．可設(shè)y出售價(jià)=kx+b.把表中數(shù)據(jù)代入即可求出結(jié)論；
（2）由y利潤(rùn)=y出售價(jià)-y成本價(jià)，可得出二次函數(shù)，求出其最大值即可.
試題解析：（1）設(shè)正方形畫(huà)板的邊長(zhǎng)為xdm，出售價(jià)為每張y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分）
由表格中的數(shù)據(jù)可得，，解得
從而一張畫(huà)板的出售價(jià)y與邊長(zhǎng)x之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝6x＋100
（2）設(shè)每張畫(huà)板的成本價(jià)為ax²，利潤(rùn)W＝6x＋100－ax²
當(dāng)x＝30時(shí)，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝
一張畫(huà)板的利潤(rùn)W與邊長(zhǎng)x之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式W＝－x²＋6x＋100
由W＝－16(x－18)2＋154，知當(dāng)x＝18時(shí)，W有最大值，W最大＝154
因此當(dāng)正方形畫(huà)板的邊長(zhǎng)為18dm時(shí)，可獲最大利潤(rùn)154元.
考點(diǎn): 1.一次函數(shù)表達(dá)式；2.二次函數(shù)表達(dá)式；3.二次函數(shù)的最大值.