Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線。理由如下：
連接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴�！郟A是⊙O的直徑。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA�！郉P是⊙O的切線。
（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E。．

由垂徑定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。

圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，得出，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證。
（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長(zhǎng)。