Question

【題目】已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上.

(1)如圖1，若∠BAC＝60°，點F與點C重合，

①求證：AF＝AE+AD.

②求證：AD∥BC.

(2)如圖2，若AD＝AB，那么線段AF，AE，BC之間存在怎樣的數(shù)量關系.

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)AF＝AE+BC.

【解析】

(1)①由“SAS”可證△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，可得結論；

②由全等三角形的性質可得∠DAC＝∠EBC=60°，由平行線的判定可得結論；

(2)如圖2，在 FA 上截取 FM＝AE，連接 DM，由“SAS”可證△AED≌△MFD，可得DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，可證∠ADM＝∠BAC，由“SAS”可證△ABC≌△DAM，可得AM＝BC，可得結論.

證明：(1)①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，

∴△ABC，△DEF 為等邊三角形，

∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，

∴∠BCE＝∠ACD，

在△BCE 和△ACD 中，，

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴AD＝BE，

∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，

即AF＝AE+AD；

②∵△BCE≌△ACD，

∴∠DAC＝∠EBC，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，

∴∠EBC＋∠DAE=∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，

∴AD∥BC.

(2)如圖2，在FA上截取FM＝AE，連接DM，

∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，

∴∠AED＝∠MFD，

在△AED 和△MFD中，

，

∴△AED≌△MFD(SAS)，

∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，

∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，

即∠ADM＝∠EDF，

∴∠ADM＝∠BAC，

在△ABC 和△DAM 中，

∴△ABC≌△DAM(SAS)，

∴AM＝BC，

∴AE+BC＝FM+AM＝AF.

即AF＝AE+BC.