Question

已知正三角形ABC，AB=a，點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S，
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為多少時(shí)，△PCQ的面積和△ABC的面積相等？

Answer 1

分析：（1）分當(dāng)0＜x＜a時(shí)和當(dāng)x＞a時(shí)，作PM⊥BQ，表示出線段PM=

3

2

(a-x)，利用三角形的面積公式寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）首先表示出S_△ABC，分0＜x＜a時(shí)和當(dāng)x＞a時(shí)列出方程求解x的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x＜a時(shí)，作PM⊥BQ（如圖1），
則PM=

3

2

(a-x)，CQ=AP=x，所以S=

1

2

×CQ•PM=

3

4

x(a-x)．
當(dāng)x=a時(shí)，S=0．
當(dāng)x＞a時(shí)，同樣作PM⊥BQ（如圖2），
則PM=

3

2

(x-a)，所以S=

1

2

×CQ•PM=

3

4

x(x-a)．

（2）S_△ABC=

3

4

a2．
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，由

3

4

x(a-x)=

3

4

a2，
得x²-ax+a²=0．
因?yàn)閎²-4ac=-3a²＜0，
所以此方程無解．
當(dāng)x＞a時(shí)，由

3

4

x(x-a)=

3

4

a2，
得x²-ax-a²=0．
解得x=

a± 5 a

2

.x=

a- 5 a

2

不合題意舍去，
所以x=

a+ 5 a

2

，
即當(dāng)x=

a+ 5 a

2

時(shí)，△PCQ的面積和△ABC的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，根據(jù)題意分類討論列出函數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．