Question

將一個面積為1的等邊三角形挖去連接三邊中點所組成的三角形（如第①圖）后，繼續(xù)挖去連接剩余各個三角形三邊中點所成的三角形（如第②圖、第③圖）…如此進行挖下去，第④個圖中，剩余圖形的面積為

 

，那么第n（n為正整數(shù)）個圖中，挖去的所有三角形的面積和為

 

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：觀察這幾個圖，可以看出來，分別在每個圖形中，以每個小白三角形為一個基本圖形，那么在這個圖形中，就會有很多以一個白色三角形為基礎的圖形，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律在第N個圖形中，會有4ⁿ個基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．那么剩余部分的面積為(

3

4

)n×大三角形的面積，然后即可求出挖去的所有三角形的面積和．

解答：解：觀察這幾個圖，可以看出來，分別在每個圖形中，以每個小白三角形為一個基本圖形，那么在這個圖形中，就會有很多以一個白色三角形為基礎的圖形．則可以觀察出規(guī)律，在第N個圖形中，會有4ⁿ個基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．
那么剩余部分的面積就應該是：

3n

4n

×大三角形的面積，即(

3

4

)n×大三角形的面積，
那么第④個圖中，剩余圖形的面積為(

3

4

)4或

81

256

，
∵三角形的面積是1
第n（n為正整數(shù)）個圖中，挖去的所有三角形的面積和為：1-(

3

4

)n．
故答案為：(

3

4

)4或

81

256

；1-(

3

4

)n．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理等知識點，解答此題的關鍵是求出剩余部分的面積為(

3

4

)n×大三角形的面積．然后問題可解．