Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿B→C的方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)直接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)

(2)求△BPQ的面積S(用含t的代數(shù)式表示)

(3)求當(dāng)四邊形APCQ為平行四邊形t的值

(4)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，直接寫(xiě)出當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)， S=8t(4＜t≤9)； (3) t=6；(4) t=5或或或8

【解析】

(1)先計(jì)算得出點(diǎn)P和點(diǎn)Q走完全程所需時(shí)間，即可直接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng)；
(2)分點(diǎn)P在AB上時(shí)和點(diǎn)P在AD上時(shí)，兩種情況討論，由三角形面積公式可求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD上，且AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形．由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
(4)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解，

(1) 點(diǎn)P走完全程所需時(shí)間：(秒)，

點(diǎn)Q走完全程所需時(shí)間：(秒)，

∴點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間最多為秒，

由題意，得：BQ()；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，S=BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD上，且AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形，

依題意得：4(t-4)=20-2t，

解得：t=6．

∴t=6時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形；

(4)∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

∴BE=EC=10，

如圖，若BE=PE=10，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，

∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，

∴四邊形ABEH是矩形，

∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，

∴PH==6，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H左邊時(shí)，

∴AP=4，

∴5(秒)，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H右邊時(shí)，

∴AP=16

∴8(秒)，

如圖，若BP=PE，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M

∴BM=ME=5，

∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，

∴四邊形ABMP是矩形，

∴AP=BM=5，

∴(秒)，

若BP=BE=10，

∴AP==6

∴ (秒)，

綜上所述：當(dāng)t=5或或或8時(shí)，△BEP為等腰三角形．