【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點(diǎn).D是射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接ED,N為ED的中點(diǎn),連接AN,MN.

(1)如圖1,當(dāng)BD=2時(shí),AN等于多少?,NM與AB的位置關(guān)系是?
(2)當(dāng)4<BD<8時(shí),
①依題意補(bǔ)全圖2;
②判斷(1)中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論;
(3)連接ME,在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)BD的長為何值時(shí),ME的長最?最小值是多少?請直接寫出結(jié)果.

【答案】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC=4,BD=2,
∴CD=2,
∴AD==2
∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AD=2,
∵N為ED的中點(diǎn),
∴AN=DE=,
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),
∴AM=AB=2,

,
∵∠CAB=∠DAN=45°,
∴∠CAD=∠MAN,
∴△ACD∽△AMN,
∴∠AMN=∠C=90°,
∴MN⊥AB,
故答案為:,垂直;
(2)①補(bǔ)全圖形如圖2所示,
②(1)中NM與AB的位置關(guān)系不發(fā)生變化,
理由:∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠CAN+∠NAM=45°,
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,
∴AD=AE,∠DAE=90°,
∵N為ED的中點(diǎn),
,AN⊥DE,
∴∠CAN+∠DAC=45°,
∴∠NAM=∠DAC,在Rt△AND中,DAN=cos45°=,
同理=,
=,
∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN,
∴△ANM∽△ADC,
∴∠AMN=∠ACD,
∵D在BC的延長線上,
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°,
∴∠AMN=90°,
∴MN⊥AB;
(3)連接ME,EB,過M作MG⊥EB于G,過A作AK⊥AB交BD的延長線于K,
則△AKB等腰直角三角形,
在△ADK與△ABE中,

∴△ADK≌△ABE,
∴∠ABE=∠K=45°,
∴△BMG是等腰直角三角形,
∵BC=4,
∴AB=4,MB=2,
∴MG=2,
∵∠G=90°,
∴ME≥MG,
∴當(dāng)ME=MG時(shí),ME的值最小,
∴ME=BE=2,
∴DK=BE=2,
∵CK=BC=4,
∴CD=2,
∴BD=6,
∴BD的長為6時(shí),ME的長最小,最小值是2.

【解析】(1)根據(jù)已知條件得到CD=2,根據(jù)勾股定理得到AD==2 , 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADE是等腰直角三角形,求得DE=AD=2 , 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AN=DE= , AM=AB=2 , 推出△ACD∽△AMN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠B=45°,求得∠CAN+∠NAM=45°根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,∠DAE=90°,推出△ANM△ADC,由相似三角形的性質(zhì)得到∠AMN=∠ACD,即可得到結(jié)論;
(3)連接ME,EB,過M作MG⊥EB于G,過A作AK⊥AB交BD的延長線于K,得到△AKB等腰直角三角形,推出△ADK≌△ABE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠K=45°,證得△BMG是等腰直角三角形,求出BC=4,AB=4 , MB=2 , 由ME≥MG,于是得到當(dāng)ME=MG時(shí),ME的值最小,根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念,需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,即|x|=|x﹣0|,也就是說|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離;這個(gè)結(jié)論可以推廣為:|x﹣y|表示在數(shù)軸上數(shù)x、y對應(yīng)點(diǎn)之間的距離;在解題中,我們常常運(yùn)用絕對值的幾何意義.

①解方程|x|=2,容易看出,在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為±2,即該方程的解為x=±2.

②在方程|x﹣1|=2中,x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù),顯然x=3x=﹣1.

③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中,顯然該方程表示數(shù)軸上與1和﹣2的距離之和為5 的點(diǎn)對應(yīng)的x值,在數(shù)軸上1和﹣2的距離為3,滿足方程的x的對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或﹣2的左邊.若x的對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊,由圖示可知,x=2;同理,若x的對應(yīng)點(diǎn)在﹣2的左邊,可得x=﹣3,所以原方程的解是x=2x=﹣3.根據(jù)上面的閱讀材料,解答下列問題:

(1)方程|x|=5的解是_______________.

(2)方程|x﹣2|=3的解是_________________.

(3)畫出圖示,解方程|x﹣3|+|x+2|=9.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r,點(diǎn)P是與圓心C不重合的點(diǎn),給出如下定義:若點(diǎn)P′為射線CP上一點(diǎn),滿足CPCP′=r2 , 則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn).右圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)P′的示意圖.

(1)如圖1,當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),分別求出點(diǎn)M(1,0),N(0,2),T( , )關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)M′,N′,T′的坐標(biāo);
(2)如圖2,已知點(diǎn)A(1,4),B(3,0),以AB為直徑的⊙G與y軸交于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C位于點(diǎn)D下方),E為CD的中點(diǎn).
①若點(diǎn)O,E關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)分別為O′,E′,求∠E′O′G的大。
②若點(diǎn)P在⊙G上,且∠BAP=∠OBC,設(shè)直線AP與x軸的交點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)為Q′,請直接寫出線段GQ′的長度.

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【題目】如圖, △ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足,連結(jié)EC

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⑵若CE=5,求CB的長.

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n=13,則第2018“F”運(yùn)算的結(jié)果是(  )

A. 1 B. 4 C. 2018 D. 42018

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