如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx-7的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，且A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△ABP的面積；若不存在，請說明理由．
（1）因?yàn)锳，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，4，
所以點(diǎn)A（1，0）．（1分）
又點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸x=4對(duì)稱，點(diǎn)B（7，0）．（2分）

（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx-7的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（7，0）．
所以
a+b-7=0
49a+7b-7=0
（4分）
解得：
a=-1
b=8
（6分）．
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+8x-7．（7分）

（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)有x-1=y，
∴x-1=-x2+8x-7，
即x2-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合題意舍去）
∴y=-62+8×6-7=5．
∴點(diǎn)P為（6，5）．（9分）
此時(shí)，S△ABP=
1
2
×（7-1）×5=
30
2
=15（10分）．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，有x-1=-y．
∴x-1=x2-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合題意舍去）
∴y=-82+8×8-7=-7．
∴點(diǎn)P為（8，-7）．（11分）
此時(shí)，S△ABP=
1
2
×（7-1）×7=
42
2
=21（12分）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．
（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點(diǎn)（圓心在x軸上），拋物線y=
1
4
x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，正方形CDEF的面積為1．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于N，Q點(diǎn)是此對(duì)稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，
①求△ACQ周長的最小值；
②若FQ=t，S△ACQ=S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-1），與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)間的距離是2，則這個(gè)拋物線的解析式為y=______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M，直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長為2
2
．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且點(diǎn)A在B的左側(cè)，求線段AB的長；
（3）若以AB為直徑作⊙N，請你判斷直線CM與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2-2ax+c與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OC|=3|OA|
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t≤2）．
求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在運(yùn)動(dòng)過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個(gè)最大值；如果不存在，請說明理由．
（4）如圖2，點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖長為2的線段PQ在x的正半軸上，從P、Q作x軸的垂線與拋物線y=x2交于點(diǎn)P′、Q′．
（1）已知P的坐標(biāo)為（k，0），求直線OP′的函數(shù)解析式；
（2）若直線OP′把梯形P′PQQ′的面積二等分，求k的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=
1
2
x2-
3
2
x-9與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC．
（1）求AB和OC的長；
（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作直線l平行BC，交AC于點(diǎn)D．設(shè)AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

利民商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品．現(xiàn)有如下信息：

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)各多少元？
（2）該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品300件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩種商品零售單價(jià)分別每降0.1元，這兩種商品每天可各多銷售100件．為了使每天獲取更大的利潤，商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價(jià)都下降m元．在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時(shí)，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大？每天的最大利潤是多少？

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