Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和B，再將沿直線CD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線CD與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接BC.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求；

（3）在y軸上有一點(diǎn)P，且是等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為(4,0) B的坐標(biāo)為(0,3)（2）（3）（0,8）、（0,-2）、（0，-3）、（0，）.

【解析】

（1）令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值，即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).(2)根據(jù)勾股定理求出OC的長即可解決.(3)在y軸上有一點(diǎn)P，且△PAB是等腰三角形，分三種情況討論，即當(dāng)BP=BA時(shí)；當(dāng)AP=AB時(shí)；當(dāng)PB=PA時(shí).

解:⑴因?yàn)锳、B兩點(diǎn)都在一次函數(shù)的直線上

令y = 0則x = 4；令x = 0,則y = 3,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).

(2)設(shè) OC =m,則 AC=CB =4-m

∵∠BOA = 90°,

∴ ,

,

解得.

∴,

(3)∵A的坐標(biāo)為(4,0)，B的坐標(biāo)為(0,3)

∴OB=3,OA=4，在Rt△OAB中

所以AB=5

當(dāng)BP=BA時(shí)，P點(diǎn)可能在B點(diǎn)上方，也可能在B點(diǎn)下方，

當(dāng)P點(diǎn)可能在B點(diǎn)上方時(shí)，OP=OB+BP=3+5=8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,8）

當(dāng)P點(diǎn)可能在B點(diǎn)下方時(shí)，OP=BP-OB=5-3=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）

當(dāng)AP=AB時(shí)，x軸為三角形ABP的垂直平分線，此時(shí)OB=OP,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）

當(dāng)PB=PA時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），

整理得：6n+7=0，解得n= ，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：0,8）、（0,-2）、（0，-3）、（0，）.