Question

9．閱讀下面解題過程：
已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴…①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²）…②
∴c²=a²+b²…③
∴△ABC為直角三角形
問：（1）上述解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯誤，寫出該步驟的代號．
（2）請寫出正確的解答過程．

Answer 1

分析 （1）兩邊都除以a²-b²，而a²-b²的值可能為零，由等式的基本性質，等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立．
（2）根據等式的基本性質和勾股定理，分情況加以討論

解答 解：（1）上述解題過程從第③步開始出現(xiàn)錯誤，該步驟的代號為③；
（2）∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
∴a²-b²=0或c²=a²+b²，
當a²-b²=0時，a=b；
當c²=a²+b²時，∠C=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

點評 本題考查了因式分解的應用，勾股定理的逆定理的應用，分類討論．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．