Question

（10分 ）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，3）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若為對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，且的面積是4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，在第一象限的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；

（2） ；

（3）存在..

【解析】

試題分析：（1）已知三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式；

（2）求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，即可得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，根據(jù)△MAB的面積求得點(diǎn)M到x軸的距離，得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；

（3）分情況討論，若以CD為底邊，則ND＝NC，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理和拋物線(xiàn)解析式得到關(guān)于x、y的等式，求得x和y的值；若以CD為一腰，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)N的坐標(biāo).

試題解析：【解析】
（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，

由題意得：，解得：，

因此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）由（1）的拋物線(xiàn)的解析式可知：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

因此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x=1；

設(shè)點(diǎn)M到x軸的距離為h，

由題意得AB=4，

所以，解得：h=2，

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）.

（3）存在.

由y=-x2+2x+3得，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x＝1.

若以CD為底邊，則ND＝NC，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，

根據(jù)勾股定理，得，即y＝4－x，

又N點(diǎn)(x，y)在拋物線(xiàn)上，∴ ，

解得，

∴，或，

即點(diǎn)N坐標(biāo)為或 .

②若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)N在第一象限的拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，3）.

∴符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為或 或（2，3）.

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.